Информация о задаче

Задача 55339

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC из точки C, являющейся вершиной прямого угла, опущена на гипотенузу высота CC₁. Из точки C₁ проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие стороны BC и AC в точках A₁ и B₁ соответственно. Известно, что $\angle$ C₁A₁B = 60^o, а гипотенуза AB = 2 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ . Найдите длину отрезка A₁B₁. Укажите её приближенное значение с точностью до 0,01.

Подсказка

Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ — равнобедренный и найдите A₁C₁ из треугольника A₁C₁B по теореме синусов.

Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ A₁C₁B = 180^o - $\displaystyle \angle$ C₁A₁B - $\displaystyle \angle$ C₁BC = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o, $\displaystyle \angle$ CC₁A₁ = 15^o,

$\displaystyle \angle$ AC₁B₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ A₁C₁B₁ - $\displaystyle \angle$ A₁C₁B = 180^o - 90^o - 75^o = 15^o.

Треугольники AC₁B₁ и CC₁A₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому A₁B₁C₁ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, A₁B₁ = A₁C₁ $\sqrt{2}$ . A₁C₁ найдём из треугольника C₁A₁B по теореме синусов:

A₁C₁ = $\displaystyle {\frac{BC_{1}\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle \sqrt{5+2\sqrt{6}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{5+2\sqrt{6}}{3}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{15+6\sqrt{6}}{9}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt{6}+2\cdot 3\sqrt{6}+9}{9}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{3}}$ ( $\displaystyle \sqrt{6}$ + 3).

Следовательно,

A₁B₁ = A₁C₁ $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\frac{2(\sqrt{6}+3)}{3}}$ .

Ответ

2 + ${\frac{2\sqrt{6}}{3}}$ ; 3, 63.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4086