Информация о задаче

Задача 55341

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой, а угол A равен 30^o. Высота CC₁, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу AB, равна 5 $\sqrt{2}$ . Из точки C₁ проведены биссектрисы углов CC₁A и CC₁B, пересекающие стороны AC и BC в точках B₁ и A₁ соответственно. Найдите длину отрезка A₁B₁. Укажите её приближенное значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

Подсказка

Докажите, что A₁CB₁ — равнобедренный прямоугольный треугольник и найдите AB₁ из треугольника AB₁C₁ по теореме синусов.

Решение

Из прямоугольного треугольника CC₁A находим, что

AC = 2CC₁ = 10 $\displaystyle \sqrt{2}$ , AC₁ = $\displaystyle \sqrt{3}$ CC₁ = 5 $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Точки C, A₁, C₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром A₁B₁. Поэтому

$\displaystyle \angle$ A₁B₁C = $\displaystyle \angle$ A₁C₁C = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BC₁C = 45^o.

Следовательно, A₁CB₁ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, A₁B₁ = $\sqrt{2}$ CB₁.

В треугольнике C₁B₁A известно, что

$\displaystyle \angle$ C₁B₁A = 180^o - $\displaystyle \angle$ B₁C₁A - $\displaystyle \angle$ B₁AC₁ = 180^o - 45^o - 30^o = 105^o.

Найдём AB₁ из этого треугольника по теореме синусов:

AB₁ = $\displaystyle {\frac{AC_{1}\sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}}$ = 15 $\displaystyle \sqrt{2}$ - 5 $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Тогда

CB₁ = AC - AB₁ = 10 $\displaystyle \sqrt{2}$ - 15 $\displaystyle \sqrt{2}$ + 5 $\displaystyle \sqrt{6}$ = 5 $\displaystyle \sqrt{2}$ ( $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1).

Следовательно,

A₁B₁ = $\displaystyle \sqrt{2}$ CB₁ = 10( $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1).

Ответ

10( $\sqrt{3}$ - 1); 7, 32.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4088