Информация о задаче

Задача 55354

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M — точка пересечения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC. Докажите, что $\overrightarrow{MA_{1}}$ + $\overrightarrow{MB_{1}}$ + $\overrightarrow{MC_{1}}$ = $\overrightarrow{0}$ .

Подсказка

Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон соответственно BC, AC, AB треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4503