Информация о задаче

Задача 55357

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD, O — произвольная точка. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$ ).

Подсказка

$\overrightarrow{OM}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OC}$ ) = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OD}$ ).

Решение

Сложив почленно равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ ), $\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$ ),

получим, что

2 $\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$ ).

Следовательно,

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4506