Информация о задаче

Задача 55360

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC и точка M. Известно, что $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{0}$ . Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Подсказка

Пусть M₁ — точка пересечения медиан треугольника ABC. Выразите вектор $\overrightarrow{MM_{1}}$ через векторы $\overrightarrow{MA}$ , $\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{MC}$ .

Решение

Пусть M₁ — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Следовательно точки M и M₁ совпадают.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4509