Информация о задаче

Задача 55361

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A₁, B₁, C₁ — середины сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC. Докажите, что для любой точки O выполняется равенство $\overrightarrow{OA_{1}}$ + $\overrightarrow{OB_{1}}$ + $\overrightarrow{OC_{1}}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ .

Подсказка

$\overrightarrow{OA_{1}}$ - $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{AA_{1}}$ .

Решение

( $\displaystyle \overrightarrow{OA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC_{1}}$ ) - ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ ) = ( $\displaystyle \overrightarrow{OA_{1}}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{OB_{1}}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{OC_{1}}$ - $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ ) =

= ( $\displaystyle \overrightarrow{AO}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_{1}}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{BO}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB_{1}}$ ) + ( $\displaystyle \overrightarrow{CO}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC_{1}}$ ) = $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CC_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{OA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4510