Информация о задаче

Задача 55363

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.

Подсказка

Если M и N — точки пересечения медиан треугольников ABC и PQR, то $\overrightarrow{MN}$ = ${\frac{1}{3}}$ ( $\overrightarrow{AP}$ + $\overrightarrow{BQ}$ + $\overrightarrow{CR}$ ).

Решение

Пусть точки P, Q, R принадлежат сторонам соответственно AB, BC, AC треугольника ABC, причём ${\frac{AP}{PB}}$ = ${\frac{BQ}{QC}}$ = ${\frac{CR}{RA}}$ = k. Если M и N — точки пересечения медиан треугольников ABC и PQR соответственно, то

$\displaystyle \overrightarrow{MN}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BQ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CR}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{BC} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{CA}}\right.$ $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle {\frac{k}{k+1}}$ $\displaystyle \overrightarrow{CA}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{BC} + \frac{k}{k+1}\overrightarrow{CA}}\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{k}{3(k+1)}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CA}$ ) = $\displaystyle {\frac{k}{3(k+1)}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Следовательно, точки M и N совпадают.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4512