Информация о задаче

Задача 55365

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M делит сторону BC треугольника ABC в отношении BM : MC = 2 : 5, Известно, что $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{b}$ . Найдите вектор $\overrightarrow{AM}$ .

Подсказка

Заметим, что

$\displaystyle \overrightarrow{AM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BM}$ , $\displaystyle \overrightarrow{AM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CM}$ .

Умножим обе части первого равенства на 5, а второго — на 2 и сложим почленно полученные равенства. Тогда

7 $\displaystyle \overrightarrow{AM}$ = 5 $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + 5 $\displaystyle \overrightarrow{BM}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{CM}$ =

= 5 $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{0}$ = 5 $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \overline{AM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$ (5 $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{7}}$ $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{7}}$ $\displaystyle \overrightarrow{b}$ .

Ответ

${\frac{5}{7}}$ $\overrightarrow{a}$ + ${\frac{2}{7}}$ $\overrightarrow{b}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4514