Информация о задаче

Задача 55366

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Векторы сторон многоугольников	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Известно, что $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{AF}$ = $\overrightarrow{b}$ . Найдите векторы $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{BD}$ , $\overrightarrow{FD}$ и $\overrightarrow{BM}$ , где M — середина стороны EF.

Подсказка

Для любых трёх точек X, Y и Z верно равенство

$\displaystyle \overrightarrow{XY}$ = $\displaystyle \overrightarrow{XZ}$ + $\displaystyle \overrightarrow{ZY}$ .

Решение

$\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BE}$ + $\displaystyle \overrightarrow{ED}$ = $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{b}$ + $\displaystyle \overrightarrow{a}$ = 2 $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + 2 $\displaystyle \overrightarrow{b}$ ;

$\displaystyle \overrightarrow{BD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BE}$ + $\displaystyle \overrightarrow{ED}$ = 2 $\displaystyle \overrightarrow{b}$ + $\displaystyle \overrightarrow{a}$ ; $\displaystyle \overrightarrow{FD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{FC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CD}$ = 2 $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b}$ .

Пусть O — центр данного шестиугольника, N — середина OF. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{BM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO}$ + $\displaystyle \overrightarrow{ON}$ + $\displaystyle \overrightarrow{NM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{b}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{b}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{b}$ .

Ответ

$\overrightarrow{AD}$ = 2 $\overrightarrow{a}$ + 2 $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{a}$ + 2 $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{FD}$ = 2 $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{BM}$ = - ${\frac{1}{2}}$ $\overrightarrow{a}$ + ${\frac{3}{2}}$ $\overline{b}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4515