Информация о задаче

Задача 55375

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, равномерно идущими по прямым дорогам?

Подсказка

Если M и M₁ — середины отрезков AA₁ и BB₁ соответственно, то $\overrightarrow{MM_{1}}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{AA_{1}}$ + $\overrightarrow{BB_{1}}$ ).

Решение

Пусть A и B — точки, в которых находились пешеходы в начале движения. Через некоторое время они оказались в точках A₁ и B₁ соответственно. Если M и M₁ — середины отрезков AB и A₁B₁, то

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ ).

Аналогично

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{2}}$ ),

где A₂ и B₂ — точки, в которых находились пешеходы еще через некоторое время, а M₂ — середина отрезка A₂B₂.

Поскольку скорости пешеходов постоянны, то $\overrightarrow{AA_{2}}$ = k $\overrightarrow{AA_{1}}$ и $\overrightarrow{BB_{2}}$ = k $\overrightarrow{BB_{1}}$ . Поэтому

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{2}}$ ) = k^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$ ) = k $\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}}$ .

Следовательно, точки M₁ и M₂ лежат на прямой, проходящей через точку M.

Ответ

Прямую.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4524