ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55375
Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, равномерно идущими по прямым дорогам?


Подсказка

Если M и M1 — середины отрезков AA1 и BB1 соответственно, то $ \overrightarrow{MM_{1}} $ = $ {\frac{1}{2}}$($ \overrightarrow{AA_{1}}$ + $ \overrightarrow{BB_{1}}$).


Решение

Пусть A и B — точки, в которых находились пешеходы в начале движения. Через некоторое время они оказались в точках A1 и B1 соответственно. Если M и M1 — середины отрезков AB и A1B1, то

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$).

Аналогично

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{2}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{AA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{2}}$),

где A2 и B2 — точки, в которых находились пешеходы еще через некоторое время, а M2 — середина отрезка A2B2.

Поскольку скорости пешеходов постоянны, то $ \overrightarrow{AA_{2}} $ = k$ \overrightarrow{AA_{1}}$ и $ \overrightarrow{BB_{2}} $ = k$ \overrightarrow{BB_{1}}$. Поэтому

$\displaystyle \overrightarrow{MM_{2}} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{AA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{2}}$) = k . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{AA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BB_{1}}$) = k$\displaystyle \overrightarrow{MM_{1}} $.

Следовательно, точки M1 и M2 лежат на прямой, проходящей через точку M.


Ответ

Прямую.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4524

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .