Задача 55376

Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки K , N , L , M расположены соответственно на сторонах AB , BC , CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD , причём = = α , = = β . Докажите, что точка пересечения P отрезков KL и MN делит их в тех же отношениях, т.е. = α , = β .

Решение

Пусть P1 — такая точка отрезка MN , для которой = α (рис.1). Докажем, что точка P1 совпадает с точкой P . Для этого достаточно доказать, что векторы и коллинеарны. Действительно,

= + + , = + + .
Умножим обе части второго из этих равенств на α и сложим почленно полученное равенство с первым. Тогда
(1+α) = ( + α) + ( + α) + ( + α) =

= + + α + = + α,
откуда
= + = - - .
Аналогично находим, что
= + .
Поэтому = -β , т.е. векторы и коллинеарны. Следовательно, точки P и P1 совпадают и = α , = β .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4525