ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55376
Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки K , N , L , M расположены соответственно на сторонах AB , BC , CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD , причём = = α , = = β . Докажите, что точка пересечения P отрезков KL и MN делит их в тех же отношениях, т.е. = α , = β .

Решение

Пусть P1 — такая точка отрезка MN , для которой = α (рис.1). Докажем, что точка P1 совпадает с точкой P . Для этого достаточно доказать, что векторы и коллинеарны. Действительно,

= + + , = + + .

Умножим обе части второго из этих равенств на α и сложим почленно полученное равенство с первым. Тогда
(1) = ( + α) + ( + α) + ( + α) =


= + + α + = + α,

откуда
= + = - - .

Аналогично находим, что
= + .

Поэтому = -β , т.е. векторы и коллинеарны. Следовательно, точки P и P1 совпадают и = α , = β .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4525

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .