Информация о задаче

Задача 55378

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Диаметр, хорды и секущие	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD окружности с центром O пересекаются в точке M. Докажите, что $\overrightarrow{OM}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ + $\overrightarrow{OD}$ ).

Подсказка

Если P — середина отрезка AB, то $\overrightarrow{OP}$ = ${\frac{1}{2}}$ ( $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ ).

Решение

Пусть P и Q — середины хорд AB и CD соответственно. Тогда четырёхугольник OPMQ — прямоугольник. Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OP}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OQ}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ ) + ( $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4527