Информация о задаче

Задача 55379

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Проведены четыре радиуса OA, OB, OC и OD окружности с центром O. Докажите, что если $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ + $\overrightarrow{OD}$ = $\overrightarrow{0}$ , то ABCD — прямоугольник.

Подсказка

Если $\overrightarrow{OM}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OD}$ и $\overrightarrow{ON}$ = $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{OC}$ , то $\overrightarrow{OM}$ и $\overrightarrow{ON}$ — противоположные векторы.

Решение

Пусть M и N такие точки, что

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$ , $\displaystyle \overrightarrow{ON}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ .

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{OM}$ + $\displaystyle \overrightarrow{ON}$ = $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ ,

то $\overrightarrow{OM}$ = - $\overrightarrow{ON}$ , т.е. $\overrightarrow{OM}$ и $\overrightarrow{ON}$ — противоположные векторы. Поэтому точки M, O и N лежат на одной прямой.

Поскольку четырёхугольники OAMD и OBNC — ромбы, то AD $\perp$ MN и BC $\perp$ MN. Поэтому AD || BC. Аналогично докажем, что AB || CD. Значит, четырёхугольник ABCD — параллелограмм, вписанный в окружность, т.е. прямоугольник.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4528