Информация о задаче

Задача 55401

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через вершины A, B, C, D вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырёхугольник — вписанный.

Подсказка

Докажите, что сумма противоположных углов построенного четырёхугольника равна 180^o.

Решение

Пусть F — точка пересечения диагоналей AC и BD данного четырёхугольника. Поскольку $\angle$ AFD = ${\frac{1}{2}}$ ( $\cup$ AD + $\cup$ BC) = 90^o, то $\cup$ AD + $\cup$ BC = 180^o, т.е. дуги AD и BC меньше 180^o. Аналогично для дуг AB и CD. Поэтому построеный четырёхугольник содержит описанную около четырёхугольника ABCD окружность.

Если O — центр этой окружности, M — общая точка касательных, проведённых через A и B, а P — общая точка касательных, проведённых через C и D, то

$\displaystyle \angle$ AMB = 180^o - $\displaystyle \angle$ AOB, $\displaystyle \angle$ DPC = 180^o - $\displaystyle \angle$ DOC.

Поэтому

$\displaystyle \angle$ AMB + $\displaystyle \angle$ DPC = 360^o - ( $\displaystyle \angle$ AOB + $\displaystyle \angle$ DOC) =

= 360^o - (2 $\displaystyle \angle$ ADB + 2 $\displaystyle \angle$ DAC) = 360^o - 2( $\displaystyle \angle$ ADB + $\displaystyle \angle$ DAC) =

= 360^o - 2^.90^o = 180^o.

Следовательно, четырёхугольник, образованый указанными касательными, — вписанный.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4720