Задача 55405

Тема:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что AB + BC = AD + DC.

Подсказка

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны между собой.

Решение

Пусть M и N — точки касания данной окружности с прямыми AB и AD, а точки K и L — с прямыми CD и BC. Тогда

AB + BC + CL = AB + BL = AB + BM = AM,

AD + DC + CK = AD + DK = AD + DN = AN.

Поскольку AM = AN и CL = CK, то AB + BC = AD + DC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4725