Задача 55408

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах BC, CA, и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причём  AC₁ = AB₁,  BA₁ = BC₁  и  CA₁ = CB₁.
Докажите, что A₁, B₁ и C₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Подсказка

Выразите отрезок AC₁ через стороны a, b и c треугольника ABC и воспользуйтесь формулой  x = p – a.

Решение

Обозначим  AC₁ = AB₁ = x,  BA₁ = BC₁ = y,  CA₁ = CB₁ = z,  AB = c,  AC = b,  BC = a.  Тогда  x + z = b,  x + y = c,  z + y = a.  Из полученной системы уравнений находим, что
AB₁ = x = ½ (b + c – a), то есть точка B₁ совпадает с точкой касания вписанной окружности со стороной AC. Аналогично для точек A₁ и C₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4728