|
|
 |
Условие
Две окружности пересекаются в точках A и B. Их центры
расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок AB.
Точки K и N лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая
отрезок AK, касается одной окружности в точке A. Прямая,
содержащая отрезок AN, касается другой окружности также в точке
A. Известно, что Найдите площадь
треугольника KBN.
Подсказка
Треугольники ABK и NBA подобны.
Решение
Обозначим AB = x, ∠BAK = α, ∠BAN = β. По теореме об угле между касательной и хордой ∠ANB = ∠BAK = α, ∠AKB = ∠BAN = β. Значит,
∠ABK = 180° – (α + β) = 180° – ∠KAN, cos∠ABK = – cos∠KAN = – .
Треугольники ABK и NBA подобны по двум углам. Поэтому
. Отсюда
По теореме косинусов BK² + AB² – 2AB·BK cos∠ABK = AK², или Отсюда x² =
.
Поскольку то
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4737 |
