Задача 55419

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через центр окружности, описанной около треугольника ABC , проведены прямые, перпендикулярные сторонам AC и BC . Эти прямые пересекают высоту CH треугольника или её продолжение в точках P и Q . Известно, что CP = p , CQ = q . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC , BAC = α , ABC = β . Из равнобедренных треугольников APC и BQC находим, что

AC = 2p sin α, BC = 2q sin β.
Поскольку
AC = 2R sin β, BC = 2R sin α,
то
2p sin α = 2R sin β, 2q sin β = 2R sin α.
Перемножив почленно эти равенства, получим, что R2 = pq .


Предположим, что ABC — остроугольный треугольник. Тогда COP= ABC и OQP = ABC , значит, COP = OQP .
Треугольники OQC и POC подобны по двум углам, следовательно, = , откуда R2=CO2=CP· CQ= pq .
Аналогично для тупоугольного треугольника.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4739