Задача 55420

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Радиус окружности, описанной около треугольника KLM , равен R . Через вершину L проведена прямая, перпендикулярная стороне KM . Эту прямую пересекают в точках A и B серединные перпендикуляры к сторонам KL и LM . Известно, то AL = a . Найдите BL .

Решение

Рассмотрим случай, когда треугольник KLM остроугольный. Пусть O — центр его описанной окружности. Обозначим LKM = α . Тогда MOL = 2α как центральный угол, соответствующий вписанному углу LKM , а LOB = MOL = α .
С другой стороны

OAL = 90^o- ALK = 90^o-(90^o-α) = α,
поэтому треугольники OAL и BOL подобны по двум углам, значит, = , следовательно, BL== .
Аналогично для тупоугольного треугольника.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4740