Информация о задаче

Задача 55423

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD угол BCD равен 150^o, а сторона AD равна 8. Найдите радиус окружности, касающейся прямой CD и проходящей через вершину A, а также пересекающей сторону AD на расстоянии 2 от точки D.

Подсказка

Примените теорему косинусов. Задача имеет два решения.

Решение

Пусть R — искомый радиус, K — точка касания указанной окружности с прямой CD, M — точка пересечения этой окружности со стороной AD (DM = 2). Тогда

DK = $\displaystyle \sqrt{DM\cdot DA}$ = $\displaystyle \sqrt{2\cdot 8}$ = 4.

Если точка K лежит на луче DC, то

MK² = DM² + DK² - 2DM^.DK cos 30^o =

= 4 + 16 - 2^.2^.4^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 20 - 8 $\displaystyle \sqrt{3}$ = 4(5 - 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Поскольку

sin $\displaystyle \angle$ MAK = sin $\displaystyle \angle$ DKM = $\displaystyle {\frac{DM\sin 30^{\circ}}{MK}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{MK}}$

(теорема синусов), то

R = $\displaystyle {\frac{MK}{2\sin \angle MAK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MK² = 2(5 - 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Если точка K лежит на продолжении стороны DC за точку D, то

MK² = DM² + DK² - 2DM^.DK^.cos 150^o = 4(5 + 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ),

sin $\displaystyle \angle$ MAK = sin $\displaystyle \angle$ DKM = $\displaystyle {\frac{DM\sin 150^{\circ}}{KM}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{KM}}$ .

Следовательно,

R = $\displaystyle {\frac{MK}{2\sin \angle MAK}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MK² = 2(5 + 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Ответ

2(5±2 $\sqrt{3}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4743