ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55432
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности с центрами O1 и O2, лежащими на стороне MN треугольника MPN, касаются друг друга и пересекают стороны MP и PN в точках M, D, и N, C соответственно, причём MO1 = O1D = 3 и NO2 = CO2 = 6. Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что отношение площади треугольника MCO2 к площади треугольника O1DN равно 8$ \sqrt{2-\sqrt{3}}$.


Подсказка

Составьте систему тригонометрических уравнений относительно углов PMN и PNM.


Решение

Обозначим $ \angle$PMN = $ \alpha$, $ \angle$PNM = $ \beta$. Тогда $ \angle$DO1N = 2$ \alpha$, $ \angle$CO2M = 2$ \beta$. Поскольку

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MCO_{2}}}{S_{\Delta O_{1}DN}}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{2}C\cdot O_{2}M\sin 2\beta}{O_{1}D\cdot O_{1}N\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{8\sin 2\beta}{5\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{8\sqrt{3}}{5}}$,

то

$\displaystyle {\frac{\sin \beta \cos \beta}{\sin \alpha \cos \alpha}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$.

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{PM}{PN}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}$.

Подставив найденное отношение в предыдущее равенство, получим, что

$\displaystyle {\frac{\cos \beta}{\cos \alpha}}$ = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}$.

Следовательно,

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
\sin \alpha = \sqrt{2-\sqrt...
...alpha = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cos \beta}{\sqrt{3}}.
\\
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
\sin \alpha = \sqrt{2-\sqrt{3}}\sin \beta\\
\cos \alpha = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cos \beta}{\sqrt{3}}.
\\
\end{array}$

Возведём обе части этих равенств в квадрат и сложим почленно полученные равенства. Имеем уравнение

1 = (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$)sin2$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{2+\sqrt{3}}{3}}$cos2$\displaystyle \beta$,

а т.к. cos2$ \beta$ = 1 - sin2$ \beta$, то это уравнение можно записать в виде

1 = (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$)sin2$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{2+\sqrt{3}}{3}}$(1 - sin2$\displaystyle \beta$).

Отсюда находим, что sin2$ \beta$ = $ {\frac{1}{4}}$.

Поскольку $ \alpha$ и $ \beta$ — острые углы прямоугольных треугольников MDK и NCK (K — точка касания окружности), то $ \beta$ = 30o, а т.к. sin$ \alpha$ = $ {\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$, то $ \alpha$ = 15o. Следовательно, $ \angle$MPN = 135o. Тогда

PN = $\displaystyle {\frac{MN\sin 15^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{18\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{18\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}$,

S$\scriptstyle \Delta$MNP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$MN . PN sin 30o = $\displaystyle {\frac{81\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{81(\sqrt{3}-1)}{2}}$.


Ответ

$ {\frac{81(\sqrt{3}-1)}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4752

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .