Информация о задаче

Задача 55438

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки K, L, M, N, P расположены последовательно на окружности радиуса 2 $\sqrt{2}$ . Найдите площадь треугольника KLM, если LM || KN, KM || NP, MN || LP, а угол LOM равен 45^o, где O — точка пересечения хорд LN и MP.

Подсказка

$\angle$ LOM = ${\frac{\cup LM + \cup PN}{2}}$ .

Решение

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому $\cup$ KL = $\cup$ MN = $\cup$ KP и $\cup$ LM = $\cup$ PN. Обозначим $\cup$ KL = $\alpha$ , $\cup$ LM = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ LOM = $\displaystyle {\frac{\cup LM + \cup PN}{2}}$ = $\displaystyle \beta$ = 45^o,

$\displaystyle \cup$ LK + $\displaystyle \cup$ KP + $\displaystyle \cup$ MN = 3 $\displaystyle \alpha$ = 360^o - 2 $\displaystyle \beta$ = 270^o.

Поэтому $\alpha$ = 90^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ KML = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 45^o, $\displaystyle \angle$ LKM = $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 22, 5^o.

Если R — радиус данной окружности, то

KL = 2R sin 45^o, KM = 2R sin(180^o - 45^o - 22, 5^o) = 2R sin 112, 5^o = 2R cos 22, 5^o.

Следовательно,

S_KLM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ KL^.KM sin 22, 5^o =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ 2R sin 45^{o .}2R cos 22, 5^{o .}sin 22, 5^o = R²sin 45^osin 45^o = 4.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4760