Информация о задаче

Задача 55442

Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Равнобедренная трапеция, у которой угол при основании равен 60^o, описана около окружности. В каком отношении прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, делит площадь трапеции.

Подсказка

Достройте трапецию до равностороннего треугольника.

Решение

Продолжим боковые стороны AB и CD трапеции ABCD до пересечения в точке K. Точки P и Q касания окружности с боковыми сторонами AB и CD — середины сторон AK и DK равностороннего треугольника AKD.

Пусть S — площадь треугольника AKD. Тогда

S_PKD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S, S_APQD = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ S, S_BKC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ S,

(т.к. треугольник BKC подобен треугольнику AKD с коэффициентом ${\frac{1}{3}}$ ),

S_PBCQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ S - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{36}}$ S.

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{PBCQ}}{S_{APQD}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{5}{36}S}{\frac{3}{4}S}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{27}}$ .

Ответ

${\frac{5}{27}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4764