Информация о задаче

Задача 55446

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

К двум непересекающимся окружностям проведены общие касательные. Угол между внешними касательными равен $\alpha$ , а угол между внутренними касательными равен $\beta$ . Найдите угол между прямыми, проведёнными из центра окружности большего радиуса и касающимися второй окружности.

Подсказка

Выразите sin ${\frac{\alpha}{2}}$ и sin ${\frac{\beta}{2}}$ через радиусы окружностей и расстояние между их центрами.

Решение

Пусть MN — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O₁ и O₂ и радиусами r и R (M и N — точки касания, r < R).

Если P — проекция центра O₁ на радиус O₂N, то

sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{2}P}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{R - r}{O_{1}O_{2}}}$ .

Аналогично sin ${\frac{\beta}{2}}$ = ${\frac{R + r}{O_{1}O_{2}}}$ .

Если $\varphi$ — искомый угол, то

sin $\displaystyle {\frac{\varphi}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{O_{1}O_{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{R + r}{O_{1}O_{2}} - \frac{R-r}{O_{1}O_{2}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{R + r}{O_{1}O_{2}}}$ - $\displaystyle {\frac{R - r}{O_{1}O_{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{R + r}{O_{1}O_{2}} - \frac{R-r}{O_{1}O_{2}}}\right)$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sin \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}\right.$ sin $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ - sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sin \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}\right)$ .

Ответ

2 arcsin ${\frac{\sin \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4768