Задача 55450

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырёхугольника взаимно перпендикулярны.

Подсказка

Общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров.

Решение

Рассмотрим две указанные окружности. Прямые, содержащие стороны четырёхугольника, являются общими внутренними и общими внешними касательными к этим окружностям. Прямая, соединяющая центры окружностей, содержит диагональ четырёхугольника и, кроме того, является осью симметрии четырёхугольника. Значит, вторая диагональ перпендикулярна этой прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4772