Информация о задаче

Задача 55452

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2 $\alpha$ и 2 $\beta$ . Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда ${\frac{BC}{AD}}$ = tg $\alpha$ tg $\beta$ .

Подсказка

Для доказательства достаточности продолжите боковые стороны трапеции до пересечения и впишите окружность в получившийся треугольник.

Решение

Для определенности будем считать, что AD > BC. Пусть трапеция ABCD — описанная, O — центр вписанной окружности, r — её радиус, K и M — точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами CD и AB соответственно.

Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то $\angle$ COK = $\beta$ и $\angle$ BOM = $\alpha$ . Поэтому,

BC = CK + BM = r(tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ ), AD = r(cos $\displaystyle \alpha$ + cos $\displaystyle \beta$ ).

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{BC}{AD}}$ = tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ .

Пусть теперь ${\frac{BC}{AD}}$ = tg $\alpha$ tg $\beta$ . Продолжим боковые стороны AB и CD до пересечения в точке Q. Впишем в треугольник AQD окружность и проведём к ней касательную, параллельную AD. Пусть B₁ и C₁ — точки её пересечения со сторонами AQ и DQ соответственно. Тогда, по ранее доказанному

B₁C₁ = ADtg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ = BC.

Следовательно, точка B₁ совпадает с точкой B, а точка C₁ — с точкой C, т.е. в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4774