Задача 55456

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что прямая, соединяющая середины дуг AB и AC, где A, B, и C – три точки одной окружности, отсекает на хордах AB и AC равные отрезки, считая от точки A.

Подсказка

Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

Решение

Пусть M и N – середины дуг AB и AC, P и Q – точки пересечения хорды MN с хордами AB и AC соответственно. Тогда
∠APQ = ∠APN = ½ (⌣AN + ⌣MB) = ½ (⌣CN + ⌣AM) = ∠AQM = ∠AQP.  Поэтому треугольник PAQ – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4778