|
|
 |
Условие
Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют вписанный четырёхугольник.
Подсказка
Выразите противоположенные углы полученного четырёхугольника через углы данного.
Решение
Обозначим углы данного четырёхугольника ABCD через 2α,
2β, 2γ, 2δ соответственно. Пусть биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, углов B и C –
в точке N, углов C и D – в точке K, углов A и D – в точке L.
Рассмотрим случай, когда четырёхугольник, образованный этими биссектрисами, – это четырёхугольник KNML (см. рис.).
Тогда ∠AMB + ∠CKD = 180° – (α + β) + 180° – (γ + δ) = 360° – (α + β + γ + δ) = 360° – ½ 360° = 180°. Следовательно, около четырёхугольника KNML можно описать окружность.
Замечания
Это утверждение верно и для биссектрис внешних углов выпуклого четырёхугольника.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4780 |
