Задача 55475

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая эти окружности соответственно в точках C₁ и C₂, отличных от A.
Докажите, что отрезок C₁C₂ виден из точки B под одним и тем же углом для любой прямой C₁C₂.

Подсказка

Докажите, что указанный отрезок виден из точки B под углом, равным углу между радиусами окружностей, проведёнными в точку A.

Решение

Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей S₁ и S₂ соответственно. Пусть прямая C₁C₂ не пересекает отрезок O₁O₂ (остальные случаи рассматриваются аналогично).
∠C₁BC₂ = ∠C₁BA + ∠C₂BA = ½ ∠C₁O₁A + ½ ∠C₂O₂A = (90° – ∠C₁AO₁) + (90° – ∠C₂AO₂) = 180° – ∠C₁AO₁ – ∠C₂AO₂ = ∠O₁AO₂.

Замечания

Чтобы избежать разбора случаев можно воспользоваться ориентированными углами.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4797