Задача 55478

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB и отличны от A и B. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, а прямые AD и BC — в точке Q. Докажите, что AB перпендикулярно PQ.

Подсказка

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Поскольку точки C и D лежат на окружности с диаметром AB и отличны от A и B, то

ACB = ADB = 90^o,

поэтому две высоты треугольника ABP лежат на прямых AD и BC, которые пересекаются в точке Q. Значит, прямая, содержащая третью высоту PM этого треугольника, также проходит через точку Q. Следовательно, PQ AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4800