Информация о задаче

Задача 55479

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB (C и D — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая точку P с точкой пересечения прямых AC и BD, перпендикулярна AB.

Подсказка

Пусть K — точка пересечения прямых AC и BD, а Q — прямых AD и BC. Докажите, что KQ $\perp$ AB, а прямые PC и PD проходят через середину отрезка KQ.

Решение

Рассмотрим случай, когда точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB.

Пусть прямые AC и BD пересекаются в точке K, а прямые AD и BC — в точке Q. Тогда AD и BC — высоты треугольника AKB, Q — их точка пересечения. Следовательно, высота KE этого треугольника проходит через точку Q. Поэтому KQ $\perp$ AB.

Докажем теперь, что точка P лежит на прямой KQ. Пусть M — точка пересечения прямых CP и KQ. Тогда $\angle$ CKM = $\angle$ ABC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), а

$\displaystyle \angle$ KCM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ AC = $\displaystyle \angle$ ABC

(по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, треугольник KMC — равнобедренный, MK = MC.

Поскольку треугольник KCQ — прямоугольный, то M — середина его гипотенузы QK. Аналогично докажем, что прямая DP пересекает отрезок KQ в его середине M. Следовательно, точки P и M совпадают, и точка P лежит на прямой KQ.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4801