|
|
 |
Условие
В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длиной m и n, считая от вершины. К окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найдите длины отрезков касательных, заключённых между сторонами треугольника.
Подсказка
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Решение
Пусть P, Q и R – точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AB и AC треугольника ABC (AB = BC). Тогда BP = BQ = m,
AQ = AR = CP = CR = n, AC = 2n, а периметр треугольника ABC равен 2(m + n) + 2n = 2(m + 2n).
Пусть прямая, параллельная стороне BC, касается окружности в
точке M и пересекает стороны AB и AC в точках K и L соответственно. Тогда KM = KQ, LM = LR.
Поэтому периметр треугольника AKL равен AK + KL + AL = AK + KM + ML + AL = AK + KQ + RL + AL = AQ + AR = 2n.
Коэффициент подобия треугольников AKL и ABC равен отношению их периметров, то есть n/m+2n. Следовательно,
KL = n·BC/m+2n = n(m+n)/m+2n.
Аналогично находим остальные искомые отрезки.
Ответ
2mn/m+2n, n(m+n)/m+2n, n(m+n)/m+2n.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4803 |
