Информация о задаче

Задача 55495

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через точку M, расположенную на диаметре окружности радиуса 4, проведена хорда AB, образующая с диаметром угол 30^o. Через точку B проведена хорда BC, перпендикулярная данному диаметру. Найдите площадь треугольника ABC, если AM : MB = 2 : 3.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на хорду AB.

Решение

Точки B и C симметричны относительно данного диаметра. Поэтому треугольник BMC — равнобедренный, $\angle$ BMC = 2^.30^o = 60^o.

Обозначим AM = 2x, BM = 3x. Тогда стороны равностороннего треугольника MBC равны 3x, а его площадь равна ${\frac{9x^{2}\sqrt{3}}{4}}$ . Поэтому

S_ABC = $\displaystyle {\frac{AB}{MB}}$ S_MBC = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ ^. $\displaystyle {\frac{9x^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{15x^{2}\sqrt{3}}{4}}$ .

Пусть K — проекция центра O данной окружности на хорду AB. Тогда

BK = AK = $\displaystyle {\frac{5x}{3}}$ , MK = AK - AM = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ , OK = MKtg30^o = $\displaystyle {\frac{x}{2\sqrt{3}}}$ .

По теореме Пифагора

OK² + KB² = OB², или $\displaystyle {\frac{x^{2}}{12}}$ + $\displaystyle {\frac{25x^{2}}{4}}$ = 16.

Отсюда находим, что x² = ${\frac{48}{19}}$ . Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\frac{15x^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{180\sqrt{3}}{19}}$ .

Ответ

${\frac{180\sqrt{3}}{19}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4817