Информация о задаче

Задача 55501

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Наименьший из углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$ . Через середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Найдите отношение площадей круга и треугольника.

Подсказка

Выразите катеты треугольника и радиус круга через гипотенузу.

Решение

Центр указанного круга — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе и серединного перпендикуляра к средней линии треугольника, параллельной большему катету.

Если 2x — гипотенуза, а R — радиус круга, то меньший катет равен 2x sin $\alpha$ , больший катет равен 2x cos $\alpha$ , половина указанной средней линии равна ${\frac{x}{2}}$ cos $\alpha$ , R = ${\frac{x}{2}}$ cos $\alpha$ . Следовательно, площадь треугольника равна 2x²sin $\alpha$ cos $\alpha$ , площадь круга равна

$\displaystyle \pi$ R² = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ x²cos² $\displaystyle \alpha$ ,

а искомое отношение равно

$\displaystyle {\frac{\frac{\pi}{8}\cos ^{2}\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi \cos \alpha}{8\sin ^{3}\alpha}}$ .

Ответ

${\frac{\pi \cos \alpha}{8\sin ^{3}\alpha}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4823