Информация о задаче

Задача 55504

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

Подсказка

Выразите гипотенузу и второй катет треугольника через a и радиус вписанной окружности, и воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Решение

Обозначим через R и r радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно. Тогда R = ${\frac{5}{2}}$ r. Поэтому гипотенуза равна 5r. Из равенства отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, следует, что второй катет равен 7r - a. По теореме Пифагора

a² + (7r - a)² = 25r², или 12r² - 7ar + a² = 0.

Отсюда находим, что r = ${\frac{a}{4}}$ или r = ${\frac{a}{3}}$ . Зная радиус вписанной окружности, найдём второй катет и вычислим площадь треугольника.

Ответ

${\frac{3}{8}}$ a² или ${\frac{2}{3}}$ a².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4826