Задача 55506

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Докажите, что радиус окружности есть среднее геометрическое отрезков третьей касательной.

Подсказка

Отрезок третьей касательной, заключённый между двумя другими, виден из центра окружности под прямым углом.

Решение

Пусть третья прямая касается окружности с центром O в точке M и пересекает первую и вторую касательные в точках A и B соответственно. Поскольку лучи AO и BO — биссектрисы углов A и B, сумма которых равна 180^o, то AOB = 90^o. Поэтому OM — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, OM² = AM ^. BM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4829