ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55507
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две параллельные прямые на расстоянии, равном 15, одна от другой; между ними дана точка M на расстоянии, равном 3, от одной из них. Через точку M проведена окружность, касающаяся обеих прямых. Найдите расстояние между проекциями центра и точки M на одну из данных прямых.


Подсказка

Опустите перпендикуляр из точки M на радиус окружности, проведённый в одну из точек касания.


Решение

Пусть A и B — проекции точки M и центра O окружности на одну из прямых, причём MA = 3. Тогда OB — радиус окружности и OB = $ {\frac{15}{2}}$.

Пусть P — проекция точки M на OB. В прямоугольном треугольнике MPO известно, что

MO = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$OP = OB - PB = OB - MA = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ - 3 = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$.

Следовательно,

AB2 = MP2 = MO2 - OP2 = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{15}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{15}{2}}\right)^{2}_{}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{9}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{9}{2}}\right)^{2}_{}$ = 36.


Ответ

6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4830

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .