Информация о задаче

Задача 55512

Темы:	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
Темы:	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = BC = CD, M — точка пересечения диагоналей, K — точка точка пересечения биссектрис углов A и D. Докажите, что точки A, M, K и D лежат на одной окружности.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ AKD = $\angle$ AMD.

Решение

Если CD || AB, то утверждение очевидно, т.к. в этом случае четырёхугольник ABCD — ромб.

Предположим, что прямые AB и CD пересекаются в точке P, причём точки P и M лежат по одну сторону от прямой AD. Поскольку четырёхугольник ABCD — выпуклый, то точка K лежит в той же полуплоскости.

Обозначим

$\displaystyle \angle$ APB = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ CDB = $\displaystyle \gamma$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ AKD = 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ PBC = 2 $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ BCD = 2 $\displaystyle \gamma$ ,

$\displaystyle \alpha$ + 2 $\displaystyle \beta$ + 2 $\displaystyle \gamma$ = 180^o, $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ = 90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

$\displaystyle \angle$ AMD = $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ ABM = $\displaystyle \beta$ + (180^o - 2 $\displaystyle \beta$ ) - $\displaystyle \gamma$ =

= 180^o - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$ = 90^o + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ,

Поэтому $\angle$ AKD = $\angle$ AMD. Следовательно, точки A, M, K и D лежат на одной окружности.

Аналогично для случая, когда точки P и M лежат по разные стороны от прямой AD.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4835