Информация о задаче

Задача 55514

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке D. Прямая касается одной из этих окружностей в точке A и пересекает другую в точках B и C. Докажите, что точка A равноудалена от прямых BD и CD.

Подсказка

Проведите через точку D общую касательную к данным окружностям.

Решение

Пусть F — точка пересечения прямой AB с общей касательной к данным окружностям, проведённой через точку D; C₁ — отличная от D точка пересечения прямой CD с первой окружностью. Тогда

$\displaystyle \angle$ FDA = $\displaystyle \angle$ FAD, $\displaystyle \angle$ BDF = $\displaystyle \angle$ BCD

( $\angle$ BDF — угол между касательной и хордой, $\angle$ BCD — вписанный угол).

$\displaystyle \angle$ ADC₁ = $\displaystyle \angle$ DAC + $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ FDA + $\displaystyle \angle$ BDF = $\displaystyle \angle$ ADB.

Следовательно, DA — биссектриса угла C₁DB, и точка A равноудалена от прямых BD и CD.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4837