Информация о задаче

Задача 55528

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
Темы:	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. Докажите, что если они расположены так, как показано на рис.1, то сумма отмеченных дуг AB, CD и EF равна 180^o.

Подсказка

Докажите, что $\cup$ AB + $\cup$ CD + $\cup$ EF = $\cup$ AF + $\cup$ BC + $\cup$ DE и сложите углы треугольника AEC.

Решение

Поскольку $\cup$ ABD = $\cup$ AFD, $\cup$ CDF = $\cup$ CBF и $\cup$ BFE = $\cup$ BDE, то

$\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF =

= ( $\displaystyle \cup$ ABD - $\displaystyle \cup$ BD) + ( $\displaystyle \cup$ CDF - $\displaystyle \cup$ DF) + ( $\displaystyle \cup$ BFE - $\displaystyle \cup$ BF) =

= ( $\displaystyle \cup$ AFD - $\displaystyle \cup$ DF) + ( $\displaystyle \cup$ CBF - $\displaystyle \cup$ BF) + ( $\displaystyle \cup$ EDB - $\displaystyle \cup$ BD) =

= $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ DE.

В треугольнике AEC известно, что

$\displaystyle \angle$ CAE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ DE), $\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ EF), $\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ AB).

Следовательно,

180^o = $\displaystyle \angle$ CAE + $\displaystyle \angle$ ACE + $\displaystyle \angle$ AEC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ DE + $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ EF + $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ AB) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (( $\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF) + ( $\displaystyle \cup$ AF + $\displaystyle \cup$ BC + $\displaystyle \cup$ DE)) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2( $\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF),

откуда следует, что

$\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ CD + $\displaystyle \cup$ EF = 180^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4851