Информация о задаче

Задача 55536

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; O₁, O₂, O₃, O₄ — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что O₁O₂O₃O₄ -- прямоугольник.

Подсказка

Пусть K — точка на продолжении отрезка BO₁ за точку O₁. Применив метод вспомогательной окружности, докажите, что $\angle$ O₄O₁K = $\angle$ O₄AB.

Решение

Поскольку AO₁ и BO₁ — биссектрисы треугольника ABC, то

$\displaystyle \angle$ AO₁B = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ACB.

Аналогично

$\displaystyle \angle$ AO₄B = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ ADB,

а т.к. $\angle$ ADB = $\angle$ ACB, то $\angle$ AO₄B = $\angle$ AO₁B. Поэтому точки A, O₄, O₁ и B лежат на одной окружности.

Пусть K — точка на продолжении отрезка BO₁ за точку O₁. Тогда

$\displaystyle \angle$ O₄O₁K = 180^o - $\displaystyle \angle$ O₄O₁B = $\displaystyle \angle$ O₄AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAD

(т.к. луч AO₄ — биссектриса угла BAD). Аналогично

$\displaystyle \angle$ KO₁O₂ = 180^o - $\displaystyle \angle$ O₂O₁B = $\displaystyle \angle$ O₂CB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BCD,

а т.к. $\angle$ BAD + $\angle$ BCD = 180^o (противоположные углы вписанного четырёхугольника), то

$\displaystyle \angle$ O₄O₁O₂ = $\displaystyle \angle$ O₄O₁K + $\displaystyle \angle$ O₂O₁K = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BAD + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BCD = 90^o.

Аналогично для остальных углов четырёхугольника O₁O₂O₃O₄.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4859


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.013