Задача 55539

Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью.

Подсказка

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Решение

Пусть S — площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b, r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр, m и n — указанные в условии отрезки гипотенузы. Тогда p = m + n + r. Поэтому

2S = ab = (m + r)(n + r) = mn + (m + n + r)r = mn + pr = mn + S.

Отсюда находим, что S = mn.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4862