Задача 55541

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

О выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что окружность с диаметром AB касается прямой CD. Докажите, что окружность с диаметром CD касается прямой AB тогда и только тогда, когда прямые BC и AD параллельны.

Подсказка

Пусть M и N — середины AB и CD соответственно. Докажите, что BC || MN тогда и только тогда, когда S_MBN = S_MCN.

Решение

Пусть BC || AD, а окружность с диаметром AB касается прямой CD в точке Q. Если M и N — середины AB и CD соответственно, то MN || BC, а S_MBN = S_MCN. Поэтому MB ^. NP = CN ^. MQ, где NP — высота треугольника MBN. Но MB = MQ (как радиусы одной окружности). Поэтому NP = CN. Следовательно, окружность с диаметром CD касается прямой AB (в точке P).

Если же окружность с диаметром AB касается прямой CD в точке Q, а окружность с диаметром CD — прямой AB в точке P, то MQ = MB и NP = NC. Поэтому MB ^. NP = CN ^. MQ. Тогда S_MBN = S_MCN. Следовательно, BC || MN. Аналогично AD || MN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4864