ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55550
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если abc = 4Rrr1, где a, b, c — стороны треугольника, R, r, r1 — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный.


Подсказка

Воспользуйтесь формулами: S$\scriptstyle \Delta$ = $ {\frac{abc}{4R}}$ и S$\scriptstyle \Delta$ = pr.


Решение

Пусть S — площадь треугольника, p — его полупериметр. Тогда

$\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$ = Spr = S.

Поэтому r1 = p.

Пусть вневписанная окружность радиуса r1 с центром O касается стороны AB треугольника ABC в точке K, а продолжений сторон CA и CB — в точках N и M соответственно. Тогда CM = CN = p, а прямоугольный треугольник COM — равнобедренный. Поэтому $ \angle$MCO = 45o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle \angle$MCN = 2$\displaystyle \angle$MCO = 90o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4873

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .