Задача 55550

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Турушбаев Б.

Докажите, что если abc = 4Rrr₁, где a, b, c — стороны треугольника, R, r, r₁ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный.

Подсказка

Воспользуйтесь формулами: S = и S = pr.

Решение

Пусть S — площадь треугольника, p — его полупериметр. Тогда

= S, pr = S.

Поэтому r₁ = p.

Пусть вневписанная окружность радиуса r₁ с центром O касается стороны AB треугольника ABC в точке K, а продолжений сторон CA и CB — в точках N и M соответственно. Тогда CM = CN = p, а прямоугольный треугольник COM — равнобедренный. Поэтому MCO = 45^o. Следовательно,

BCA = MCN = 2MCO = 90^o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4873