Задача 55556

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда около неё можно описать окружность.

Подсказка

Окружность симметрична относительно любого своего диаметра. Основание равнобедренной трапеции видно из вершин другого основания под одним и тем же углом.

Решение

Достаточность. Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда она симметрична относительно диаметра окружности, перпендикулярного основаниям. Следовательно, трапеция — равнобедренная.

Необходимость. Пусть трапеция ABCD — равнобедренная, AB и CD — её основания. Тогда треугольники ABC и BAD равны. Следовательно, ADB = ACB. Поэтому точки A, D, C и B лежат на одной окружности, т.е. четырёхугольник ABCD — вписанный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5003