ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55557
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Неравенство треугольника ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки M и N расположены по одну сторону от прямой l. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку K, для которой сумма MK + NK была бы наименьшей.


Подсказка

Рассмотрите образ одной из данных точек при симметрии относительно прямой l и примените неравенство треугольника.


Решение

Пусть N1 — точка, симметричная точке N относительно прямой l. Тогда для любой точки K прямой l

MK + NK = MK + N1K $\displaystyle \geqslant$ MN1.

Равенство достигается в случае, когда K — точка пересечения прямых l и MN1.

Из этого утверждения следует, что касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами, проведёнными в точку касания. (См. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. Гл.1.)

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5004

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .