Задача 55566

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На прямой, содержащей сторону AB остроугольного треугольника ABC, постройте точку M такую, что расстояние между её проекциями на прямые AC и BC минимально. Чему равно это расстояние?

Подсказка

Точка M, её проекции на прямые AC и BC и вершина C лежат на одной окружности.

Решение

Пусть P и Q — проекции искомой точки M на прямые AC и BC. Тогда точки P, M, Q и C расположены на окружности с диаметром MC. Поэтому PQ = MC sinACB. Следовательно, PQ минимально, если минимально MC, т.е. когда M — основание высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A.

Если h — длина этой высоты, то минимальное расстояние между указанными проекциями точки M равно h sinACB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5013