Задача 55568

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Необычные построения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.

Подсказка

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Первый способ.

Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA (O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения. Опустим перпендикуляры FK и FL на стороны угла. Тогда биссектриса угла KFL и будет искомой, поскольку отрезки FK и FL, а следовательно, и прямые OA и OB, симметричны относительно биссектрисы угла KFL.

Второй способ.

Через произвольную точку одной из сторон угла проведем прямую, параллельную другой стороне. Построим биссектрису полученного угла, а затем через полученную ранее точку F (см. первый способ) проведем прямую, параллельную этой биссектрисе.

Третий способ.

Отметим произвольные точки A и B на разных сторонах угла. Построим биссектрисы углов OAB и OBA (O — недоступная вершина данного угла). Пусть F — их точка пересечения, а E — точка пересечения биссектрис смежных с ними углов. Тогда биссектриса угла с недоступной вершиной O проходит через точки F и E, т.к. биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5016