Задача 55589

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия и построения ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по основаниям двух его биссектрис и прямой, на которой лежит третья биссектриса.

Подсказка

Биссектриса есть ось симметрии угла.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть M и N -- основания его биссектрис AM и BN, биссектриса CK лежит на данной прямой l, Q — точка пересечения биссектрис. Тогда точка N₁, симметричная точке N относительно прямой l, лежит на прямой BC, а NQM = 90^o + C.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку N₁, симметричную точке N относительно данной прямой. Если точка N₁ совпадает с M, то задача имеет бесконечное число решений. Пусть точка N₁ отлична от M. Если прямая N₁M пересекает прямую l, то точка пересечения есть искомая вершина C треугольника ABC (если N₁M || l, то задача не имеет решений).

На отрезке MN как на хорде в полуплоскости, не содержащей точки C (относительно прямой MN), строим дугу, вмещающую угол, равный 90^o + C. Пересечение этой дуги с данной прямой даёт точку Q. Прямые MQ и NQ пересекают прямые CN и CM соответственно в вершинах A и B искомого треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5037