Задача 55613

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Найдите среди всех треугольников с данным основанием и данной площадью треугольник наименьшего периметра.

Подсказка

Задача сводится к следующей. Точки A и B расположены по одну сторону от прямой. Найдите на этой прямой такую точку C, что сумма AC + BC — минимальна.

Решение

Пусть AB — данное основание треугольника. Тогда геометрическое место точек C, для которых площадь треугольника ABC равна данной, — две прямые, параллельные прямой AB, отстоящие от неё на расстояния, равные высоте треугольника, которая равна удвоенной данной площади треугольника, делённой на данное основание AB.

Пусть l — одна из этих двух прямых. Тогда точка C, для которой периметр треугольника ACB минимален, — точка пересечения прямой l с прямой AB₁, где B₁ — точка, симметричная точке B относительно прямой l. В этом случае треугольник ACB — равнобедренный.

Ответ

Равнобедренный треугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5063